数学教材 - 第 5 页

GCSE数学复习笔记下载《GCSE Maths AQA:Probability》

这是 《GCSE Maths AQA》 复习资料的 第8章：《概率》。这一章是数学中研究不确定性和随机现象的分支，它为我们提供了一套量化“可能性”的工具。以下是关于这一章的全面详细介绍：

章节概述

第8章 《概率》 的核心在于使用数学工具来度量事件发生的可能性。本章从最基础的概率概念出发，逐步介绍如何利用维恩图和双向表等可视化工具来组织和分析信息，最终解决涉及多个事件的复杂概率问题。

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内容详解

本章结构清晰地分为三个层次，从简单到复杂。

8.1 基础概率

这是整个概率论的基石。

核心概念：

概率的定义：事件发生的可能性，其值介于0（不可能）和1（必然）之间。

概率的表示：通常以分数、小数或百分比表示。

计算公式：对于等可能事件， $P (事件) = 所有可能结果总数事件有利结果数$ 。

互补事件：事件A不发生的概率为 $P (A^{'}) = 1 - P (A)$ 。

学习目标：学生需要能够计算简单随机实验（如掷骰子、抽卡片）的概率，并理解概率的基本性质。

8.2 维恩图与双向表

这部分引入了强大的工具来可视化复杂关系，尤其是在处理两个或更多类别时。

8.2.1 概率 – 维恩图：

工具：使用圆圈来表示集合（事件），重叠区域表示交集。

应用：用于计算属于某个集合、同时属于两个集合（交集）、或至少属于一个集合（并集）的概率。非常直观地展示了事件之间的关系。

8.2.2 概率 – 双向表：

工具：一种表格，行和列分别表示两个不同类别的信息。

应用：非常适合用于整理和计算联合概率（同时满足两个条件的概率）及边缘概率（只满足一个条件的总概率）。例如，统计不同性别（行）喜欢不同科目（列）的人数。

8.2.3 集合记号与维恩图：

核心内容：引入正式的集合论符号，这是连接概率与严谨数学语言的桥梁。

关键符号：

$A \cap B$ ：交集，表示事件A与B同时发生。

$A \cup B$ ：并集，表示事件A或B发生（或都发生）。

$A^{'}$ ：补集，表示事件A不发生。

8.3 复合概率

这部分探讨多个事件组合发生的概率。

8.3.1 复合概率 – 基础：

核心概念：区分事件是相互独立还是互斥。

乘法原理：用于计算两个独立事件都发生的概率： $P (A and B) = P (A) \times P (B)$ 。

加法原理：用于计算两个互斥事件有一个发生的概率： $P (A or B) = P (A) + P (B)$ 。

8.3.2 复合概率 – 进阶：

核心内容：处理事件非互斥（即可以同时发生）的情况。

通用加法公式： $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ 。需要减去交集部分是因为它在P(A)和P(B)中被计算了两次。

树状图的应用：使用树状图来解决更复杂的多阶段概率问题，特别是当各阶段的概率会发生变化时（例如，无放回抽取）。

总结

第8章 《概率》 在GCSE数学中扮演着独特的角色：

培养不确定性思维：在确定性的数学世界之外，引入了处理不确定性和随机性的重要工具。

强调逻辑与直观相结合：维恩图和树状图等工具将抽象的逻辑关系变得直观易懂。

具有广泛的实际应用：从天气预报、游戏策略到风险评估和保险精算，概率论是许多领域的基础。

为统计学打下基础：概率是统计学的理论基石，理解了概率才能更好地理解统计推断。

总而言之，这一章让学生学会了如何理性地分析和预测随机事件，这是一种在信息时代至关重要的量化思维能力。

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GCSE数学复习笔记下载《GCSE Maths AQA:Geometry & Measures》

这是 《GCSE Maths AQA》 复习资料的 第7章：《几何与测量》。这一章是数学中最直观、空间性最强的部分，内容极其广泛和系统，从平面图形的基础性质延伸到复杂立体图形的计算。以下是关于这一章的全面详细介绍：

章节概述

第7章 《几何与度量》 是GCSE数学中内容最庞大、最核心的章节之一（目录长达183页）。它系统地构建了整个欧几里得几何的知识体系，涵盖了从基本的角和图形，到图形的变换、相似与全等，再到平面和立体图形的面积与体积计算。本章强调空间想象力、逻辑推理和精确计算。

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内容详解

本章内容可以划分为几个清晰的模块：

模块一：角度与多边形

7.1 平行线中的角：复习并巩固同位角、内错角、对顶角相等的定理。

7.2 多边形中的角：

掌握多边形内角和公式： $(n - 2) \times 18 0^{\circ}$ 。

理解任意多边形的外角和均为 $36 0^{\circ}$ 。

模块二：图形的相似与全等

7.3 相似 – 长度：理解相似形的概念（形状相同，大小不同），并能利用比例计算对应边的长度。

7.4 相似 – 面积与体积：这是重要的进阶内容。理解长度比例因子与面积比例因子 $(k^{2})$ 、体积比例因子 $(k^{3})$ 之间的关系。

7.5 全等三角形：理解全等形的概念（形状和大小完全相同）。掌握证明三角形全等的条件（SSS, SAS, ASA, RHS）。

模块三：图形变换

7.6 变换：详细学习四种基本变换：

旋转：需要明确旋转中心、角度和方向。

反射：需要明确对称轴。

平移：用向量描述移动。

放大：需要明确放大中心和比例因子。

7.7 变换 – 放大（负比例因子）：理解负比例因子的放大，其结果是图形位于放大中心的另一侧，同时大小发生变化。

7.6.5 复合变换：处理图形经历连续多次变换的情况。

模块四：面积与周长计算

7.8 面积 – 三角形与四边形：熟练掌握三角形、矩形、平行四边形、梯形等常见图形的面积公式，并能通过图形的拼凑或切割求解复合图形的面积。

7.9 圆的面积与周长：熟练掌握圆的周长公式 $C = 2 π r$ 和面积公式 $A = π r^{2}$ 。

7.10 圆的扇形与弧长：计算扇形的面积 $360 θ \times π r^{2}$ 和弧长 $360 θ \times 2 π r$ 。

7.11 面积问题解决：综合应用面积知识解决实际问题，包括单位换算。

模块五：立体几何

7.12 立体图形：

7.12.1 立体图形的表面积：计算棱柱、圆柱、锥体、球体等常见立体图形的表面积。

7.12.2 立体图形的体积：计算上述立体图形的体积，熟练掌握公式如棱柱/圆柱体积 $= 底面积 \times 高$ 。

模块六：核心定理

7.13 勾股定理：在直角三角形中，掌握并应用 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 来计算边长。这是几何学中最重要的定理之一。

总结

第7章 《几何与度量》 是GCSE数学的知识宝库，它：

构建了完整的空间观念：从一维的线、二维的面到三维的体，系统地建立了空间思维框架。

强调逻辑推理与证明：全等和相似等内容培养了学生的演绎推理能力。

连接了抽象与现实：面积、体积等计算直接应用于建筑、制造和日常生活中的测量。

是后续学习的坚实基础：本章的所有内容都是学习A-Level数学、物理和工程等科目的必备前提。

总而言之，这一章要求学生不仅要有计算能力，更要有敏锐的观察力、空间想象力和严密的逻辑思维。掌握本章内容，意味着学生已经具备了扎实的古典几何学基础。

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GCSE数学复习笔记下载《GCSE Maths AQA:Ratios, Proportion & Rate of Change》

这是 《GCSE Maths AQA》 复习资料的 第6章：《比、比例与变化率》。这一章是数学在现实世界中最直接、应用最广泛的领域之一，它将数字运算与物理世界中的数量关系紧密相连。以下是关于这一章的全面详细介绍：

章节概述

第6章 《比、比例与变化率》 的核心在于理解和量化数量之间的关系以及它们的变化速度。它从简单的比率比较开始，深入到比例关系的数学模型，最后应用到速度、密度和压力等具体的科学和工程概念中。

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内容详解

本章内容精炼但非常重要，分为三个核心部分。

6.1 比率

这是比较两个或多个数量的最基本方法。

核心内容：

书写与简化：理解比率的含义（如 2:3 表示每2份A对应3份B），并能通过除以公因数将其化简到最简形式。

按比例分配：将一个总量按照给定的比率分成若干部分。这是比率最经典的应用。

步骤：将比率各部分相加得到总份数，然后用总量除以总份数得到每份的值，最后将每份的值乘以各自的比例数。

根据比率求数量：已知部分量和其对应的比例，求另一个量或总量。

比率与分数/线性方程的转换：能够将比率问题转化为分数或方程来求解。

示例：将 £50 按 3:2 分配。总份数=5，每份=£10，因此两部分分别为 £30 和 £20。

6.2 正比例与反比例

这部分探讨两种变量间最重要的数学关系。

正比例：

特征：当一个量增加时，另一个量以相同的倍数增加。它们的比值保持不变。

关系式： $y = k x$ ，其中 $k$ 是比例常数。

图形：一条穿过原点的直线。

示例：在固定单价下，总价与数量成正比。

反比例：

特征：当一个量增加时，另一个量以相同的倍数减少。它们的乘积保持不变。

关系式： $y = x k$ ，其中 $k$ 是比例常数。

图形：一条曲线（双曲线）。

示例：完成一项固定工作所需的人数与工作时间成反比。

6.3 速度、密度与压力

这是将比例和变化率思想应用于具体科学公式的环节，是GCSE数学与科学科目交叉的典型代表。

核心公式：

速度： $Speed = Time Distance$

密度： $Density = Volume Mass$

压力： $Pressure = Area Force$

6.3.1 基础应用：直接使用公式，已知其中两个量，求第三个量。同时需要进行单位换算（如 km/h 与 m/s 的转换）。

6.3.2 进阶应用：解决更复杂的问题，例如：

涉及复合物体的密度计算（由不同材料组成）。

计算不同形状或不同部位所受的压力。

处理平均速度问题（总距离 ÷ 总时间，其中各段速度可能不同）。

总结

第6章 《比、比例与变化率》 虽然篇幅不长，但其重要性不言而喻：

极强的实用性：从烹饪、购物到地图导航，从科学实验到工程设计，这些概念无处不在。

培养量化思维：教导学生如何用数学语言精确描述数量之间的关系和变化。

连接数学与科学：速度、密度和压力是物理学的核心概念，本章为学生继续学习科学课程打下了坚实的数学基础。

核心技能的基础：比例推理是理解更高级数学主题（如三角函数、相似形、微积分）的关键。

总而言之，这一章将学生从纯粹的抽象数学中带出来，进入了数学应用的广阔天地，展示了数学作为描述和理解世界的有力工具的价值。

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